آنچه خیام در زمان خود به آن دست یافت، نوآوری و پژوهش علمی فراتر از زمان خودش بود كه در آن زمان به سختی ناشناخته مانده بود. بدون شك حكیم عمر خیام در دوران خود، بزرگترین ریاضیدان جهان و در علم نجوم، فلسفه و فیزیك، طب و موسیقی استاد كاملی بوده است. وی در اردیبهشت سال ۴۲۷ شمسی در نیشابور به دنیا آمد و در دی ماه سال ۵۰۱ شمسی در سن ۷۴سالگی در همان جا از دنیا رفت.

متاسفانه با حملات وحشیانه دشمنان در طول زمان مدارك علمی، كتابخانه ها و مدارك علمی تاریخی گرانقدر به آتش كشیده شده و اغلب شهر های آباد ازجمله نیشابور به تلی از خاك مبدل شد، از این رو از تمامی تالیفات و سروده های آن دانشمند بزرگ اطلاعات كافی در دست نیست. آنچه می توان فهمید این است كه حكیم عمر خیام فردی كم سخن، محتاط، جدی و گوشه گیر بود و در بین معاصران و متفكران احترام زیادی داشته است. 
برای دریافت اعجاز ریاضیات و حكمت خیام باید تاریكی قرون و ظلمات این سرزمین را در نظر گرفت كه در آن تنها نوری كه می درخشید آتش دوزخ زمینی و آسمانی متشرعان بوده و اگر بعد از خیام شرایط مساعد وجود می داشت و تعصبات سد راه پیشرفت نمی شد، امروزه بسیاری از ریاضیدانان جهان نام فارسی داشتند ولی در چنان روزگارانی فقیهی مانند امام محمد غزالی می فرماید: «هندسه علم نیرنگ هاست». 

 

ریاضیات 

ریاضیدانان بزرگی كه روی آثار علمی خیام تحقیق كرده اند و مقالات فلسفی و ریاضی وی را از عربی و فارسی به روسی و دیگر زبان ها ترجمه كرده اند، معتقدند كه خیام فرمولی در ریاضی را پیدا كرده كه دانشمندان غربی حدود ۶۰۰ سال بعد از خیام آن را كشف نموده اند. 

خیام اولین كسی بود كه به بررسی همه انواع معادله های درجه سوم كه یك ریشه مثبت دارند، پرداخت. جورج سارتن كه او را برجسته ترین مورخ علم لقب داده اند در مقدمه تاریخ علوم به مقام علمی خیام در جبر توجه و تا حدودی نیز حق مطلب را ادا كرده است. عمر خیام یكی از بزرگترین ریاضیدانان قرون وسطی است .كتاب جبر او حاوی حل هندسی و جبری معادلات درجه دوم و طبقه بندی قابل تحسین معادله های درجه اول و دوم و سوم و تحقیق منظم در حل تمام و ناتمام اغلب آنها است. 

در حقیقت واضع هندسه تحلیلی خیام است نه دكارت. برای بررسی فنی این سخن و در ضمن پرهیز از بحث تخصصی، همین قدر می توان گفت كه خلاصه رساله ریاضی خیام حل هندسی انواع معادلات درجه سوم از روی تقاطع منحنی های مخروطی است. برای كسانی كه با این بحث آشنایی ندارند، باید گفت كه معادلات جبری دارای یك یا چند مجهول هستند. یك معادله جبری یك مجهولی بر حسب توان مجهول درجه بندی می شود. تا قبل از خیام معادلات درجه اول و درجه دوم حل شده بود. معادله درجه دوم در زمان خیام حل نشده بود، اما حلش بسیار مورد نیاز بود و خیام به حل هندسی آن اقدام كرد. بحث سه مرحله ای فرموله شده هندسه تحلیلی سه مرحله دارد، بخش اول به دست مصری های باستان و بخش دوم به دست یونانی ها انجام شده بود. برهان به كار رفته برای حل بخش سوم كه توسط خیام ارائه شد متكی به آثار یونانیان و مصریان است و این نشان می دهد كه خیام كارهای مصریان و به خصوص یونانیان را خیلی خوب می شناخت. گفتنی است كه این قضیه و طرح صورت مسئله اولین بار توسط محمد بن عیسی معروف به ماهانی اهل ماهان كرمان مهندس و منجم معروف قرن سوم و چهارم كه به دنبال حل معادله درجه سوم ناقص بود مطرح شد.

خیام در این باره می گوید: «اما ریاضیون قدیم غیر عربی زبان به چیزی از مقوله علم جبر و مقابله پی نبردند و از اطلاعات ایشان در این باب چیزی به ما نرسیده ولی متاخرین آشنا به زبان ما اول كسی كه به نوع ثلاثی از این ۱۴ قسم بر خورده است ماهانی مهندس است.» در این عبارت منظور خیام از ۱۴ نوع معادله، جبری است كه خودش آنها را دسته بندی و حل كرد. در واقع او تمامی معادلات تا درجه سوم را بر حسب ضرایب به ۱۴ صنف دسته بندی و حل كرد و سپس به سراغ معادله های كسری رفته است. اشاره ای گذرا به این مطلب ضروری است كه در كتاب بسیار معتبر تاریخ علم كمبریج آمده است: خیام برای استخراج ریشه های چهارم و پنجم و ششم و بالاتر، روشی را مطرح ساخت كه خود كشف كرده بود و نیاز به استفاده از هندسه را احتمالا با استفاده از مثلث خیام پاسكال بر طرف می ساخت این تاریخ تصریح می كند كه روش خیام مفقود شده است. ضمنا باید دانست كه یكی از بزرگترین هندسه دانان آن روزگار ابن هیثم بود. او به وجود آورنده علم پرسپكتیو است. مجموعه اشكالاتی كه ابن هیثم به اقلیدس گرفته و اشكالاتی كه عمر خیام به هر دو، هم به اقلیدس و هم به هیثم وارد دانسته به اوضاع افتخار آفرین هندسه در ایران هزار سال پیش اشاره می كند. 

 

نجوم 

یكی دیگر از ابعاد مهم شخصیت خیام بزرگ، علم نجوم است. به اختصار باید گفت كه در ۹۳۶ سال قبل در هنگامی كه خیام منجم ۲۲ساله بود ،سلطان سلجوقی و وزیر اعظمش وی را دعوت كردند كه از سمرقند به بخشی دیگر از ایران فرهنگی یعنی اصفهان بازگردد و در پایتخت عهده دار رصدخانه این شهر شود. خیام پس از آن ۱۸ سال در اصفهان ماند و در این مدت زیج خود را با جدول های ملكشاهی فراهم آورد. بدبختانه مدارك كامل كارهای او مفقود شده و آنچه بر جای مانده تعدادی مواضع نجومی و تعدادی جدول كبیسه و فهرستی از یكصد ستاره پر نور است . خیام برای تجدید نظر در تقویم، طرحی در دست داشت كه میزان خطا را به حداكثر یك روز در پنج هزار سال كاهش می داد. 

خیام در مدتی كه در اصفهان بود و بدون آنكه اعتقادی داشته باشد، می بایست نقش آسترولوژیست یا ستاره خوان دربار را نیز بازی كند و این موضوع را از جنبه های نامطلوب وظیفه خود می دانست. او نه تنها به پیشگویی و ستاره خوانی یا تنجیم بی اعتقاد بود بلكه یك آزاداندیش كامل نیز بود.

میزان دقت در تقویم طراحی شده توسط خیام كه تا امروز نیز مورد استفاده است برابر با یك روز خطا در ۳۷۷۰ سال یعنی حدود ۲۳ ثانیه در سال است. 

ششصد سال بعد از خیام، لوئیجی لیلیو جیرالدی، منجم معروف دربار پاپ گریگوری سیزدهم در اروپا تقویم معروف به گریگوری امروز را طراحی كرد كه در ۲۳۳۰ سال یك روز خطا دارد، یعنی معادل ۳۷ ثانیه در سال. در طرحی كه خیام در دست اجرا داشت این خطا به میزان یك روز در پنج هزار سال می رسید ،یعنی معادل حدود ۱۷ ثانیه در سال كه دانشمندان تا امروز به چنین دقتی در طراحی تقویم دست نیافته اند. 

 

سایر كارها 

از دیگر ابعاد شخصیت شگفت آور خیام باید از علوم طبیعی یا آنچه امروزه به فیزیك و شیمی معروف است نام برد. او حتی در باب تعیین عیار آلیاژها نیز دستاورد هایی دارد. گستره طیف دانش عمر خیام به واقع حیرت انگیز است او حتی در آیین كشور داری نیز صاحب نظر و دارای رساله است. به جز موارد فوق داستانهای مختلفی در مورد خیام طبیب، خیام هواشناس، خیام موسیقیدان، خیام تاریخدان و خیام فقیه و امام مرجع مسلمانان و غیره ضبط شده است و به وجوه مختلف فلسفی و مذهبی او توجه كرده اند. 

پروفسور بودن اشته خیام شناس آلمانی می گوید: اگر بخواهم رسالاتی كه درباره خیام نوشته شده را جمع آوری كنم عمرم كفاف نمی دهد.