می دانیم كه از یك نقطه خارج از یك خط مستقیم، یك خط و تنها یك خط می توان به موازات آن رسم كرد. ولی آیا می دانید هندسه هایی ابداع شده اند كه در آنها از یك نقطه خارج از یك خط راست هیچ خط و یا بیش از یك خط می توان به موازات خطی معین رسم كرد حالت دوم به هندسه ای منجر می شود كه «هندسه هذلولی» نام دارد و نخستین بار توسط ریاضیدان روس، نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی ابداع شد و به همین دلیل به آن هندسه لوباچفسكی نیز می گویند. آنچه در پی می آید خلاصه ای است از زندگی و فعالیت های لوباچفسكی و بعضی ویژگی های هندسه هذلولی كه به مناسبت صد و پنجاهمین سالمرگ وی تنظیم شده است.

 

پیدایش هندسه نااقلیدسی

همه با نام اقلیدس و كتاب جاودانی او اصول Elements كه بحق جزء تاثیرگذارترین و مهمترین كتاب های تاریخ بشر قلمداد می شود، آشنا هستیم. اقلیدس در این كتاب از تعداد انگشت شماری «اصول موضوع» تعداد نسبتا قابل توجهی «قضیه» نتیجه گیری می كند. كار عظیم اقلیدس این بود كه چند اصل ساده چند حكم كه بی نیاز به توجیه، پذیرفتنی بودند دست چین كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت كه بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی، بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. یك دلیل بر زیبایی «اصول» اقلیدس این است كه این همه را از آن اندك نتیجه گرفته است. در میان پنج اصل موضوع اقلیدس اصل پنجم یا اصل توازی كه در بالا بدان اشاره شد، موجب زحمت فكری بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بی نگرانی پذیرفت، قابل اثبات هم نبود. از همان آغاز كسانی دچار دودلی شدند و وقت بسیاری را برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف كردند. این كوشش ها هرچند به نتیجه قطعی نرسیدند، راه را برای رسیدن به نتیجه مهمتری گشودند. در قرن نوزدهم، سه دانشمند در سه كشور گاوس در آلمان، بولیایی در مجارستان و لوباچفسكی در روسیه تقریبا همزمان به كشف هندسه هایی دست یافتند كه گاوس بر آنها نام هندسه نااقلیدسی نهاد.

شواهدی در دست است مبنی بر اینكه گاوس بیشتر از لوباچفسكی و بولیایی به برخی از اكتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است. جای شگفتی است كه گاوس با وجود شهرت عظیمش از علنی ساختن كشفیاتش در زمینه هندسه نااقلیدسی عملا بیمناك بوده است. وی در ۱۸۲۹ به دوست دانشمندش، فریدریش سبل می نویسد كه برای منتشر كردن آثار انقلابی اش از «زوزه بوئسیایی ها» اشخاص كندذهن و كم شعور وحشت دارد. او به ه. ك. شوماخر گفته بوده است كه «از كشیده شدن به هر نوع كشمشكی نفرت دارد.»

یانوش بولیایی اكتشافات خود را به صورت یك ضمیمه ۲۶ صفحه ای در كتاب تنتامن Tentamen كه توسط پدرش در سال ۱۸۳۱ نوشته شده بود، منتشر كرد. پدر یك نسخه از این كتاب را با شوق فراوان برای دوست آلمانی اش، فریدریش گاوس كه بزرگترین ریاضیدان آن عصر بود فرستاد. فوركوش بولیایی از ۳۵سال جلوتر با گاوس كه هر دو دانشجوی دانشگاه گوتینگن بودند دوستی نزدیك داشت و هنگامی كه به اتریش برگشت این دوستی دیرینه را با مكاتبه حفظ كرد. وقتی كه فوركوش تلاش خود را برای اثبات اصل توازی نزد گاوس فرستاد، گاوس استادانه نقص كار او را یافت و به او گوشزد كرد. یانوش در ۱۳سالگی بر حساب دیفرانسیل و انتگرال مسلط شده بود. پدرش نامه ای به گاوس نوشت و از او تقاضا كرد كه این جوانك اعجوبه را در خانواده خود به عنوان شاگرد ریاضیدان بپذیرد. گاوس هرگز به تقاضای او جواب نداد. ۱۵سال بعد كه فوركوش «تنتامن» را برای گاوس فرستاد، قطعا باید احساس كرده باشد كه پسر عقیده اش را به او قبولانده است و یانوش می بایستی انتظار داشته باشد كه گاوس كار مهم او را به مردم معرفی كند. بنابراین می توان به میزان یاس او پس از خواندن نامه زیر كه گاوس به پدر او نوشته بود، پی برد:

«اگر با این عبارت آغاز كنم كه یارای تمجید از چنین كاری را ندارم، البته برای یك لحظه دچار شگفتی خواهید شد. ولی كاری به جز این نمی توانم بكنم. تمجید از آن به منزله تمجید از خودم است. زیرا كه تمام محتوای كاری كه پسر شما كرده، راهی كه گزیده و نتایجی كه به آنها رسیده، تقریبا به طور تمام و كمال با تحقیقات خود من كه مدت ۳۰ تا ۳۵سال تمام فكر مرا به خود مشغول داشته، یكی است. از این بابت من خود را سخت شگفت زده می یابم. اما درباره كار خودم كه تنها اندكی از آن تاكنون منتشر شده است قصدم این بوده كه اجازه ندهم تا زنده ام كسی از آن باخبر شود. بیشتر مردم بینش لازم برای درك نتایج كارهای ما را ندارند و من تنها به چند تن برخورده ام كه از آنچه كه با آنان در میان گذارده ام، با علاقه استقبال كرده اند. برای فهمیدن این چیزها نخست باید دقیقا و عمیقا دریافت كه مطلوب چیست و چه باید كرد و از این بابت ذهن اكثر افراد كاملا درهم و برهم و مغشوش است. از سوی دیگر نقشه من چنین بود كه سرانجام همه آنها را به روی كاغذ بیاورم تا لااقل موضوع با از میان رفتن من فراموش نشود. لذا باعث كمال خوشوقتی من است كه می بینم دیگر لازم نیست این كار چاپ نوشته هایم را انجام دهم، به خصوص كه این فرد، فرزند دوست دیرین من است كه به چنین شیوه عالی بر من پیشی گرفته است.»

به رغم تمجیدی كه گاوس در آخرین جمله اش از او كرده بود، یانوش از جواب ریاضیدان بزرگ ناامید شد. حتی پنداشت كه پدرش در نهان گاوس را از نتایج كارهای او آگاه می ساخته است و گاوس اكنون سعی دارد آنها را به عنوان كار خویش تصاحب كند. یانوش جوان كه مزاجی آتشین داشت و ۱۳بار پیاپی دوئل كرده و پیروز شده بود و چه اختلاف فاحشی با گالوا دیگر ریاضیدان نامدار كه در ۲۰سالگی در اولین دوئل كشته شد چنان سرخورده شد كه هرگز به فكر انتشار پژوهش هایش نیفتاد.

 

گوشه هایی از زندگی و كار لوباچفسكی

نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی در اول دسامبر سال ۱۷۹۲ در شهر نیژنی نووگورود چشم به جهان گشود. از وضع پدرش آگاهی كمی در دست داریم، كارمند جزء و ظاهرا هندسه دان ناحیه بوده است و به سختی هزینه و درآمد خود را سر به سر می كرد. یانیشفسكی نخستین كسی كه زندگینامه لوباچفسكی را نوشته است، می گوید: «فقر و محرومیت، گهواره لوباچفسكی را در میان گرفته بود.» خانواده لوباچفسكی از طرف مادر با سروانی به نام شبارشین خویی داشت كه به یاری آنها می شتافت و از كودكان خانواده لوباچفسكی همچون مردمك چشم هایش نگهداری می كرد ولی در سال ۱۷۹۷ چشم از جهان فرو بست و وضع خانواده بدتر از بد شد. احتمالا كمی بعد از این حادثه بود كه مادر خانواده به خاطر آموزش پسرانش الكساندر نیكلا و آلكسی عازم و ساكن قازان شد.

نیكلا در سال ۱۸۰۲ وارد مدرسه قازان شد. دانشگاه قازان كه در سال ۱۸۰۵ باز شد از این مدرسه منشعب شده بود. لوباچسفكی با آمادگی ریاضی كه امروز هم می توان آن را بسیار خوب دانست وارد دانشگاه شد. این آمادگی به او امكان داد تا به سرعت به آموزش عمیقی در زمینه دانش های دقیق دست یابد. نیكلا در ماه فوریه سال ۱۸۰۷ وارد دانشگاه شد و تا آخرین روزهای زندگی اش وابسته به دانشگاه قازان باقی ماند. لوباچفسكی احتمالا به خاطر میل مادرش در آغاز به تحصیل پزشكی پرداخت ولی به زودی بارتل ریاضیدان برجسته و مربی باارزشی كه آوازه شهرتش از مدت ها پیش در دانشگاه قازان پیچیده بود وارد دانشگاه شد. از او استقبالی سرشار از محبت و احترام به عمل آمد. دانشجویان علاقه مند به ریاضیات در كلاس های او حضور یافتند و لوباچفسكی هم برای استفاده از درس های او پزشكی را كنار گذاشت. بین دانشجو و استاد رابطه گرمی برقرار شد. بارتل به طور خصوصی هم با لوباچفسكی كار كرد و او را یاری داد تا به مشكلات كتاب های رسمی ریاضی فائق آید. لوباچفسكی با اشتیاق بسیار كار می كرد. دانش های كه او در ظرف دو یا سه سال به آنها پرداخت، واقعا حیرت آور است. تردید نمی توان كرد كه لوباچفسكی تنوع آگاهی های ریاضی خود و دقت ذهنی اش را در این زمینه، به طور عمده مدیون بارتل است. لوباچفسكی به جز ریاضیات به فیزیك و اخترشناسی هم پرداخت، به نحوی كه پس از دانشگاه می توانست این دانش ها را تعلیم دهد، حتی بعدها كرسی های این دانش ها را اشغال كرد. لوباچفسكی در سال ۱۸۱۴ به دستیاری دانشگاه منصوب شد هر چند كه در این زمان تعداد استادان به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافته بود ولی هنوز دانشگاه نتوانسته بود به صورت یك موسسه آموزش عالی به معنای دقیق كلمه درآید و مطابق برنامه اش كار كند. در سال ۱۸۱۴ «افتتاح كامل دانشگاه با كادری كه در برنامه سال ۱۸۰۴ سال تاسیس دانشگاه پیش بینی شده بود» انجام گرفت. دانشگاه طی دورانی كه متاسفانه دراز نبود، منظره عادی یك موسسه آموزشی عالی را به خود گرفت. فعالیت آن به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافت كه لوباچفسكی هم در آن شركت داشت. در آن زمان او بیش از ۲۲سال نداشت و درس هایش او را به كلی به خود مشغول كرده بود. دو سال به استادی انتخاب شد. ولی همان طور كه اشاره شد این دوره نسبتا آرام حیات دانشگاه قازان زیاد نپایید. در سال ۱۸۱۹ از طرف بعضی مرتجعین و بدخواهان گزارشی تهیه شد كه شامل مجموعه ای از اتهام ها و دروغ ها بود و «انحلال رسمی» دانشگاه قازان را پیشنهاد كرد. این پیشنهاد پذیرفته نشد لیكن به خدمت ۹ استاد خاتمه دادند و استادان خارجی كه كرسی های علمی را در اختیار داشتند روسیه را ترك گفتند. وضع دانشكده علوم فیزیك و ریاضی، بیش از هر جای دیگر اسف انگیز بود. با عزیمت چند استاد به خارج از روسیه و فوت یكی از استادان تقریبا تمامی آموزش ریاضیات و فیزیك، به گردن لوباچفسكی جوان افتاده بود و كاملا طبیعی است كه این وظیفه تمامی وقت و نیروی لوباچفسكی را می گرفت. لوباچفسكی مجبور شد در انزوای كامل و دور از مراكز اروپایی اندیشه ریاضی خود را به كار گیرد. 

امروزه می توان از یكی از درس هایی كه لوباچفسكی برای دانشجویان سال اول در نظر گرفته بود، با عنوان «هندسه مقدماتی از دیدگاه ریاضیات عالی» مشخص كرد. هدف این درس این بود كه به طور جدی تر روشن كند اصول بنیادی هندسه را نمی توان روی نیمكت های دبیرستانی درست كرد. لوباچفسكی به طور كلی روی طرحی كار می كرد كه دالامبر ریاضیدان و دایره المعارف نویس نامی در یكی از نوشته های خود در دایره المعارف اش عنوان كرده بود. او در سال ۱۸۲۳، خلاصه ای از این درس را زیر نام «هندسه» تنظیم و درخواست چاپ آن را كرد. سرپرست دانشگاه، با توجه به اظهارنظر نامساعد فوس یكی از اعضای فرهنگستان این درخواست را رد كرد. وقتی كه سرپرست دانشگاه دستنویس لوباچفسكی را برای فوس فرستاد، نامی از یك جزوه دبیرستانی است. ولی فوس با لوباچفسكی هم خوب نبود، زیرا لوباچفسكی در نوشته های خود از دستگاه متری، تقسیم صدقسمتی زاویه و غیره كه ناشی از انقلاب فرانسه بود جانبداری می كرد و این اندیشه ها به نظر فوس، مولود زمانی بود كه در آن «خشم از میان برداشتن تمامی گذشته، تا تقویم و تقسیم های دایره گسترش یافته بود.» اجازه چاپ رد شد لیكن بعدها در سال ۱۸۹۸، نوشته لوباچفسكی در بایگانی مدیر آموزش ناحیه قازان پیدا شد. لوباچفسكی در این كتاب با طرح اندیشه های بنیانی هندسه مقدماتی نمی توانست از اصل موضوع توازی چشم بپوشد. لوباچفسكی ضمن بیان این اصل موضوع می افزاید: «تاكنون اثبات دقیقی از این حكم به دست نیامده است. آنچه را كه تاكنون به نام اثبات آورده اند، توضیحاتی بیش نمی توان نامید و استحقاق این را ندارد كه همچون اثبات واقعی ریاضی در نظر گرفت.» از این جمله ها می توان دریافت كه لوباچفسكی از سال ۱۸۲۳ به روشنی متقاعد شده بود كه هیچ كدام از اثبات های اصل موضوع پنجم اقلیدس كه تا آن زمان عرضه شده بود، نمی توانست قانع كننده باشد. با این وصف، او در این كتاب امكان پیدا كردن یك اثبات كامل را نفی نمی كند، سال های بعد، لوباچفسكی تمامی دقت خود را روی این مسئله متمركز كرد و بالاخره توانست به حل مسئله ای كه در طول دو هزار سال همچون یك معما جلوه می كرد توفیق یابد. لوباچفسكی در ۲۳ فوریه سال ۱۸۲۶، در برابر بخش فیزیك و ریاضی دانشكده، نطقی ایراد كرد كه بعدا به صورت یك یادداشت به زبان فرانسه و زیر عنوان «گزارش كوتاهی از اصول هندسی همراه با اثبات دقیق قضیه موازی ها» ارائه شد. 

می توان گفت كه در همین روز بود كه هندسه نااقلیدسی متولد شد. لوباچفسكی همچون بیشتر ریاضیدانان پیش از خودش، تلاش می كند كه اصل موضوع توازی را، از راه برهان خلف، ثابت كند. او فرض می كند كه: از نقطه C واقع در خارج خط راست AB و در صفحه ای كه از خط AB و نقطه C می گذرد، می توان بیش از یك خط راست رسم كرد، به نحوی كه هیچ كدام از آنها، خط AB را قطع نكنند. او از این فرض، كه این نتیجه گیری ها، كه بسیار دقیق و استادانه به هم پیوسته اند، به هیچ گونه تناقضی منجر نمی شوند، بلكه برعكس خود یك هندسه كامل و هماهنگ را تشكیل می دهند كه لوباچفسكی آن را «هندسه تخیلی» می نامد. گاوس به این هندسه نام «هندسه نااقلیدسی» را می دهد و ما امروز آن را هندسه هذلولی یا هندسه لوباچفسكی می نامیم. در آن زمان تنها یك آدم بانفوذ بود كه كار لوباچفسكی را می فهمید و به آن ارج می گذاشت: گاوس ولی او هم تنها ۱۱سال بعد از نشر نخستین شرح حال لوباچفسكی در «پیام قازان» وقتی كه كتاب كوچك لوباچفسكی با نام «بررسی های هندسی درباره موازی ها» كه در ۱۸۴۰ منتشر شده بود به دستش رسید، با كارهای هندسه دان بزرگ آشنا شد. وقتی كه گاوس این كتاب را كه یكی از شاهكارهای ریاضی است به دقت بررسی كرد به ارزش واقعی آن پی برد و در نامه هایی كه برای دوستانش گرلینگ و شوماخر فرستاد، با كلماتی گرم كتاب را به آنها توصیه كرد. او تا اندازه ای برای دسترسی به سایر نوشته های لوباچفسكی حتی زبان روسی را فراگرفت و به جامعه علمی گوتینگن كه در آن زمان ماهیت یك فرهنگستان را داشت كمك و شخصا از انتخاب او پشتیبانی كرد. در مطبوعات روسی و آلمانی آن زمان، مقاله های زیادی نشر یافت كه كارهای لوباچفسكی را به مسخره می گرفت. حمله هایی كه لوباچفسكی را هدف قرار می داد، از طرف كسانی بود كه قدرت درك اندیشه های او را نداشتند و این دانشمند نابغه را دچار تلخكامی می كردند. در زندگی لوباچفسكی نه تنها از او تحسین نشد بلكه با هندسه نااقلیدسی با دشمنی و كوتاه بینی برخورد كردند و او را آماج نیشخندهای فراوان قرار دادند. مقاله های نیشدار و پراستهزا، از طرف افراد بانفوذ علیه او چاپ شد، بدون اینكه بتواند به آنها پاسخ دهد. از چاپ اعتراض های او جلوگیری می كردند. چنین بود وضع غم انگیز لوباچفسكی وضعی مشابه آنچه كه برای تاورینوس و بولیایی دیگر پیشروان آفرینش هندسه نااقلیدسی پیش آمد و اولی را به جنون دچار كرد و دومی را در مالیخولیای عمیقی فرو برد. چه عامل هایی لوباچفسكی را از چنین سرنوشتی رهایی بخشید بیش از همه قدرت روحی، انرژی، ظرفیت كار و اعتقاد بی حدی كه به آموزش عمومی و به خصوص علاقه ای كه به دانشگاه قازان داشت. لوباچفسكی از ۲۰سالگی تا پایان زندگی اش، دست از فعالیت سخت خود به خاطر كارهای اداری و اجتماعی نكشید، به نحوی كه حتی تا امروز هم اثر آن را در دانشگاه قازان می توان دید. در سال ۱۸۲۷ لوباچفسكی به سمت ریاست دانشگاه برگزیده شد.

او بلافاصله آغاز به كار كرد. لوباچفسكی بیش از ۳۳سال نداشت ولی با وجود كمی تجربه اش در امور اداری، توانست به طور كامل امیدهایی را كه به او بسته بودند برآورده سازد. میزان احترامی كه برای او به عنوان رئیس دانشگاه قائل بودند، از اینجا می توان فهمید كه شش بار متوالی به این سمت برگزیده شد و این مسئولیت را در حدود ۲۰سال از ۱۸۲۷ تا ۱۸۴۶ به عهده داشت. دانشگاه با مدیریت لوباچفسكی كادر آموزشی خود را تا آنجا كه در آن زمان مقدور بود تكامل بخشید.

با مشاركت فعال او، كتابخانه دانشگاه، یكی از غنی ترین كتابخانه های كشور شد و در همه دانشكده ها، مجموعه های علمی مهم گردآوری شد. لوباچفسكی نشریه علمی دانشگاه قازان را تاسیس كرد كه تا امروز هم ادامه دارد. لوباچفسكی برای گسترش ساختمان دانشگاه هم تلاش های زیادی كرد و اعتبارهای لازم را به دست آورد. به مناسبت اینكه رئیس كمیسیون ساختمان ها بود، برای اینكه بهتر بتواند وظیفه های خود را انجام دهد، حتی به تحصیل معماری پرداخت. وقتی كه هنگام دیدار از شهر قازان، بپرسید كه ساختمان های دانشگاه در چه تاریخی به شكل امروزی درآمده است، به شما پاسخ خواهند داد كه این كار لوباچفسكی است. این مرد بزرگ نشان خود را در هر گوشه دانشگاه و در زمینه های به كلی گوناگون آن باقی گذاشته است. لوباچفسكی طی دوران فعالیت خویش در دانشگاه قازان، هرگز تدریس خود را قطع نكرد و به خاطر نیازی كه وجود داشت در حدود ۴۰سالگی در سال ۱۸۳۲ ازدواج كرد. در سال ۱۸۴۶ ، ۳۰ سال از دوران استادی لوباچفسكی می گذشت. بنابر مقررات دانشگاه این حداكثر مدتی بود كه یك استاد می توانست یك كرسی را اشغال كند. شورای دانشگاه طی درخواستی از لوباچفسكی خواست كه در زمره استادان باقی بماند و سمت مدیریت خود را حفظ كند و تاكید می كند كه این افتخار بزرگی برای دانشگاه است. ولی لوباچفسكی این درخواست را نپذیرفت و خواستار بازنشستگی شد.
شاید بسیار عجیب باشد ولی واقعیت دارد كه تعداد فرزندان لوباچفسكی به درستی معلوم نیست و مشخص كردن آنها دشوار است. یكی از دختران لوباچفسكی در خاطرات خود می نویسد كه پدر و مادر او ۱۵ بچه داشتند. برادرش از عدد ۱۸ صحبت می كند كه احتمال درستی آن كم است. كاملا ممكن است كه بعضی ها در سنین پایین و حتی به محض تولد، درگذشته باشند. ولی آنچه مسلم است، تعدادشان زیاد بود. فوت بعضی از فرزندان و بلاهای سخت خانوادگی دیگر به شدت بر لوباچفسكی اثر گذاشت. نیكلای ایوانویچ شاد و سرزنده، دیگر پیر شده و فرتوتی زودرس به سراغش آمده بود. لوباچفسكی همیشه مراقب همكاران، زیردستان و به ویژه دانشجویان بود و با روی خوش از آنها استقبال می كرد.

با وجود این، او احساس می كرد كه تقریبا همه كسانی كه سابقا با او بودند و با كمال میل و رغبت به خانه او رفت و آمد می كردند، او را ترك گفته اند. او غالبا غم زده و اندوهگین می نشست و پیپ می كشید.

وحشت آورتر از همه تهدید كوری بود. اغلب كوری لوباچفسكی را به خاطر ریز نوشتن او می دانند، هر چند كه ممكن است این موضوع بی اثر نبوده باشد اما علت اصلی در جایی دیگر بود. كار بی وقفه، شدت كوشش ذهنی مداوم و گرفتاری های سختی كه لوباچفسكی در تمامی طول زندگی خود گرفتار آنها بود، تصلب زودرسی را موجب شده بود كه عواقب دیگر آن هم به زودی پدیدار شد. 

توجه احترام انگیز به او و یا یك موفقیت ناچیز، كافی بود كه او را تسكین دهد و تا مدتی روحیه اش را بهبود بخشد.
او مجبور شد در سال پیش از مرگش به علت نابینایی كتابش را با استفاده از شاگردانش تقریر كند تا برایش بنویسند. وقتی كه لوباچفسكی به عضویت افتخاری دانشگاه مسكو به مناسبت صدمین سالگرد فعالیت این دانشگاه درآمد، نامه زیر را دریافت كرد:

«با احساس قدردانی از خوبی های شما در حق دولت و دانش، دانشگاه امپراتوری مسكو، با اعتقاد كامل به اینكه شما از هرچه كه بتوانید در امر توسعه دانشگاه دریغ نخواهید كرد، شما را در زمره عضوهای افتخاری خود برگزیده است. همراه این نامه، گواهینامه مربوط به این عنوان را با یك مدال نقره و یك نسخه از همه آثار منتشر شده به مناسبت یكصدمین سال تقدیم می دارد و از جنابعالی تقاضا دارد آنها را بپذیرید.»

لوباچفسكی به عضویت افتخاری دانشگاه قازان هم برگزیده شد، ولی هیچ كدام از اینها نتوانست برای زندگی رو به خاموشی او تسلایی باشد. او در ۱۲ فوریه سال ۱۸۵۶ در سن ۶۴ سالگی بدرود زندگی گفت. در سال ۱۹۸۶ بنای یادبودی برای او در قازان ساخته شد.
 

تاریخ هندسه نااقلیدسی

 

 

 

 

نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی نخستین كسی بود كه در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت كه به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی كه آن را می خواندند، سخت خرده گیری می كردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ك. شوماخر از آن مقاله ستایش كرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تكرار كرد. لوباچفسكی هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد

لوباچفسكی علنا با تعلیمات و اصول عقاید كانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: «تلاش های بی ثمری كه از زمان اقلیدس تاكنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت كه حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت كمك های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است.» اریك تمپل بل در كتاب «مردان ریاضیات» لوباچفسكی را «آزادكننده بزرگ» و «كپرنیك دانش هندسه» نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میكل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسكی در دوران حیاتش تجلیل نشد. 

و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای كه با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین كتابش را تقریر كند تا برایش بنویسند.

 

هندسه هذلولی

تا وقتی كه مكاتبات گاوس، پس از مرگ او در ۱۸۵۵، منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. هنوز هم تا سال ۱۸۸۸ لوئیس كارول به هندسه نااقلیدسی می خندید برخی از بهترین ریاضیدانان بلترامی، كیلی، كلاین، پوانكاره، كلیفور و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن كردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات، به ویژه در نظریه توابع مختلط به كار بردند. در ۱۸۶۸ ریاضیدان ایتالیایی «ائوجنیو بلترامی» برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش كشید و ثابت كرد كه اثبات آن غیرممكن است او این كار را از این راه كه هندسه نااقلیدسی درست همچون هندسه اقلیدسی، دستگاهی است سازگار، اثبات كرد.

در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را كه «از یك نقطه خارج از یك خط راست بیش از یك نقطه می توان به موازات آن رسم كرد» به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود كه با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه كنند. ولی تفكر پیگیر و آرام آشكار می سازد كه هیچ چیز ناممكن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند كوچك شوند به شرطی كه اضلاع آن به اندازه كافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد.

گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش «تاورینوس» می گوید: «همه تلاش های من برای یافتن یك تناقض یا یك ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شكست انجامیده است. چیزی كه در آن با ادراك ما مغایرت دارد این است كه اگر راست باشد، باید در فضای آن یك اندازه خطی وجود داشته باشد كه خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان كمیاتی كه به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه كنیم آن گاه ممكن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین كرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو كرده ام كه هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.» 

در هندسه هذلولی می توان ثابت كرد كه اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاك «ززز» برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممكن نیست مثلثی را بدون انداختن از شكل طبیعی بزرگ یا كوچك كرد. در نتیجه در یك جهان هذلولی، عكاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد كرد یك نتیجه تكان دهنده قضیه مذكور این است كه در هندسه هذلولی یك پاره خط می تواند به كمك یك زاویه مشخص شود. یعنی یك زاویه از یك مثلث متساوی الساقین، طول یك ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور كه در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذكر گردید، اغلب با بیان اینكه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نكته را هیجان انگیزتر می كنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود.

در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط كش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است. 

در هندسه هذلولی، علاوه بر آنكه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی كه مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این كار شدنی است.

 

 

منابع:
۱ « لوباچفسكی، هندسه نااقلیدسی»، تالیف: و. كاگان، ترجمه پرویز شهریاری
۲ «هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی»، تالیف: ماروین جی. گرینبرگ، ترجمه محمدهادی شفیعیها
۳ «هندسه لوباچفسكی» نوشته آ.س. اسموگورژفسكی، ترجمه احمد بیرشك
۴-wikipedia , the free encydopedia
۵ دایره المعارف بریتانیكا