جدول شماره یک
همانطور كه
میدانید نظم و روابط شگفت انگیز بین اعداد صحیح همواره در طول زمان
مورد توجه ریاضیدانان علی الخصوص متخصصین نظریه اعداد بوده است كه
حاصل این توجهات گاهی قضایای مشهور ریاضیات و یا معماها و بازیهای
گوناگون بوده است.
بایید با هم نگاهی به
یكی ازاین روابط میا ن اعداد طبیعی و توانهای گوناگون آنها بپردازم.
همانطو كه در جدول شماره یک مشاهده میشود می توان این نظریه را ارائه
کرد كه تفاضل توان اول اعداد طبیعی متوالی برابر با 1 است.
حال اگر همین عمل را بجای توان اول روی توان دوم انجام دهیم در ستون
چهارم به نتیجه جالبی بر خواهیم خورد، به جدول دوم دقت کنید و توجه
کنید از ستون سوم به بعد هر سلول حاصل تفاضل سلول مجاور منهای سلول
قبلی سلول مجاور خود است.
جدول شماره دو
هرچند در جدوال فوق
فقط 10 مورد اول از این رابطه بررسی شده است اما به راحتی میتوان
از طریق استقرای ریاضی و یا با یک برنامه ساده کامپیوتری این حقیقت
را كه در ستون چهارم به عدد ثابت 2 خواهیم رسید، بررسی کرد.
پس از آن براحتی می
توان جداولی مشتمل بر اعداد بزرگتر، از مجموعه اعداد طبیعی و توانهای
آنها را بکار برد و موضوع را تعمیم داد. به جدول شماره سه که برای
توانهای 5 اعداد است توجه کنید. مشاهده می کنید که در ستون پنجم به
تفاضل ثابت 120 رسیده ایم، بسادگی می توان نشان داد که این حاصل تفاضل
معادل حاصلضرب اعداد کوچکتر یا مساوی توان در یکدیگر هستند.
به بیان دیگر برای توان دوم حاصل تفاضل در ستون دوم معادل 1x2 یا همان
!2 است، برای توان سوم حاصل تفاضل در ستون سوم معادل 1x2x3 یا همان !3
است، برای توان پنجم حاصل تفاضل در ستون پنجم معادل 1x2x3x4x5 یا همان
!5 است و ....
جدول شماره سه
شما میتوانید به
راحتی این جداول را برا ی هر عضو دلخواه اعداد طبیعی تشكیل داده و
در پایان به این نتیجه شگفت انگیز برسید كه برای توان a ام این
اعداد اگر تفاضلها را به ترتیبی که در جداول توضیح دادیم حساب
کنید، در ستون a+2 به عدد ثابت !a خواهید رسید.
هر چند شاید این روابط
در نگاه اول و به تنهایی كاربرد مفیدی نداشته باشند ولی باید درنظر
داشت که ریاضیدانان / فیزیکدانان و ... با بسط این روابط به تئوریهای
ارزشمندی در زمینه های مختلف علوم کاربردی می رسند.
